Raisonnements divins : Quelques démonstrations mathématiques particulièrement élégantes / by Martin Aigner, Günter M. Ziegler.

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Théorie des nombres -- Six preuves de l’infinité de l’ensemble des nombres premiers -- Le postulat de Bertrand -- Les coefficients binomiaux ne sont (presque) jamais des puissances -- Représentation des nombres comme somme de deux carrés -- Tout corps fini est commutatif -- Quelques nombres irrationnels -- Trois méthodes pour calculer ? 2/6 -- Géométrie -- Le troisième problème de Hilbert: la décomposition des polyèdres -- Droites du plan et décompositions de graphes -- Le problème des pentes -- Trois applications de la formule d’Euler -- Le théorème de rigidité de Cauchy -- Simplexes contigus -- Tout grand ensemble de points détermine un angle obtus -- La conjecture de Borsuk -- Analyse -- Ensembles, fonctions et hypothèse du continu -- À la gloire des inégalités -- Un théorème de Pólya sur les polynômes -- Sur un lemme de Littlewood et Offord -- La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz -- Le problème de l’aiguille de Buffon -- Combinatoire -- Le principe des tiroirs et le double décompte -- Trois théorèmes célèbres sur les ensembles finis -- Mélanger un jeu de cartes -- Chemins dans les treillis et déterminants -- La formule de Cayley pour le nombre d’arbres -- Comment compléter un carré latin -- Le problème de Dinitz -- Identités et bijections -- Théorie des graphes -- Cinq-coloration des graphes planaires -- Comment surveiller un musée -- Le théorème de Turán -- Communiquer sans erreur -- Amis et politicians -- Les probabilités facilitent (parfois) le dénombrement.

Cet ouvrage regroupe quelques démonstrations mathématiques choisies pour leur élégance. Il expose des idées brillantes, des rapprochements inattendus et des observations remarquables qui apportent un éclairage nouveau sur des problèmes fondamentaux. Selon le mathématicien Paul Erdös, qui a lui-même suggéré plusieurs des thèmes présentés, les preuves développées ici mériteraient d'être retenues pour figurer dans le Livre où Dieu aurait répertorié les démonstrations parfaites. Différents domaines sont abordés (théorie des nombres, géométrie, analyse, combinatoire et théorie des graphes) et le propos évoque aussi bien des résultats établis depuis longtemps que des théorèmes récemment démontrés. Dans tous les cas, leur compréhension ne fait appel qu'à des connaissances mathématiques de niveau premier cycle. Cette deuxième édition propose une traduction française de la troisième édition anglaise revue et augmentée. Elle comporte deux nouveaux chapitres, de nombreuses améliorations ainsi que de nouvelles preuves. Cet ouvrage séduira tous ceux qui s'intéressent aux mathématiques.

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